За каждым синусом в физике стоит одна и та же крутящаяся стрелка. Она входит в законы природы через несколько дверей — вот их карта, дверь за дверью, кейс за кейсом.
Синус не «превращается» в формулу — синус и есть формула: машинка, что берёт угол и выдаёт долю. Вектор, вращающийся по окружности; его «тень» на ось — это и есть синус с косинусом. Дальше всё зависит от того, что делать с этой стрелкой. Заморозить — проекция. Пустить во времени — колебание. Сложить несколько — волны. Три главные двери и одна стрелка. А дальше — поворот как операция, дикие появления и третья роль на кривых пространствах.
Здесь угол стоит между вектором и осью, а время заморожено. Один вопрос на всю группу: «какая доля этой стрелки смотрит вон в ту сторону?» Косинус берёт долю вдоль направления, синус — поперёк него.
Атом всей двери. Любой вектор распадается на две перпендикулярные доли: косинус отмеряет, сколько его лежит вдоль оси, синус — сколько поперёк. Всё остальное в этой группе — частные случаи этого деления.
Сила тяжести делится по склону: вдоль ската тянет доля sin, в поверхность давит доля cos. Круче склон — больше sin, быстрее скатывается; положе — больше cos, сильнее прижимает. Лыжи, горки, трение.
Работу делает только доля силы вдоль перемещения — её берёт косинус. Перпендикулярная часть не двигает и не работает совсем. Сила, направленная точно вбок (θ = 90°) — труд впустую, cos 90° = 0.
Крутит только поперечная доля силы — её отмеряет синус. То, что вдоль рычага, не поворачивает ничего. Поэтому ключ жмут перпендикулярно, а ручку двери — у дальнего края.
Те же две доли, поднятые в ранг операций. Скалярное произведение меряет совпадение двух векторов — это косинус. Векторное меряет разворот, площадь между ними — это синус. cos для «насколько вместе», sin для «насколько врозь».
Сдвиг фазы φ между током и напряжением делит мощность. Доля cos φ делает полезную работу — её так и зовут «коэффициент мощности». Доля sin φ (реактивная) не доходит до нагрузки, а плещется туда-сюда вхолостую.
Свет проходит через второй поляроид той долей поля, что совпала с его осью — это cos θ. Интенсивность ∝ квадрату амплитуды, отсюда cos² θ. Ровно так работают поляризационные очки и любой ЖК-экран.
На границе двух сред сохраняется касательная доля волнового вектора — а это синус угла к нормали. Поэтому луч преломляется. Отсюда надломленная ложка в стакане, фокус линзы, мираж и радуга.
Лодка гребёт поперёк реки, течение сносит вдоль — результат складывается из двух перпендикулярных долей. Самый базовый случай проекции — фундамент всей векторной механики.
Длина третьей стороны зависит от угла между двумя другими через косинус. При C = 90° косинус обнуляется и остаётся теорема Пифагора — это её обобщение на любой угол.
Под этим углом отражённый от поверхности свет полностью поляризован. Именно поэтому поляризационные очки срезают блики с воды и дороги.
Теперь угол — это время: φ = ωt. Та же стрелка из первой двери, но её отпустили крутиться. Её тень на ось, отложенная во времени, чертит синусоиду. Всякое колебание — это вращение, увиденное сбоку.
Координаты равномерно крутящейся точки — это прямо cos и sin времени. Тень точки на горизонтальную ось ходит по косинусу, на вертикальную — по синусу. Отсюда и берётся вся синусоидальность мира.
Пружина, груз, качание — смещение ходит по косинусу времени. Это та же тень кругового движения: синусоида — это «развёрнутый» во времени оборот стрелки.
Маятник возвращает доля силы тяжести ∝ sin θ. При малом угле sin θ ≈ θ — и качание становится чистой синусоидой. Тот самый случай, где синус «съедается» приближением и в итоговой формуле его уже не видно.
Ток в розетке — это синус времени. Он не случайно такой: его рождает вращение, и форма волны наследует круг.
Катушка крутится в магнитном поле — и наведённое напряжение идёт синусом. Вот прямая причина, почему ток вообще синусоидальный: круговое движение, превращённое в электричество.
Синус сразу по пространству и по времени — горб, бегущий вперёд. Свет, звук, рябь на воде. В застывший момент это синусоида в пространстве; в неподвижной точке — синусоида во времени.
Корень всей системы. Это одна стрелка, крутящаяся по единичной окружности в комплексной плоскости. Её тень на вещественную ось — косинус, на мнимую — синус. cos и sin — это просто две тени одного вращения.
Скорость по модулю постоянна, но её вектор всё время поворачивается — значит ускорение есть, и направлено оно к центру.
Реальный звон не вечен: синус сидит под убывающей экспонентой. Так гаснет струна, качели без подкачки, любой удар по колоколу.
Толкай систему на её частоте — амплитуда взлетает. Качели, мост, бокал от голоса, настройка радио на станцию.
Ток и напряжение в цепи — вращающиеся стрелки со сдвигом фазы. Катушка заставляет ток отставать, конденсатор — опережать.
Теперь крутящихся стрелок несколько, и они складываются. Волны накладываются, и кто кого усилит, а кто погасит — решает разность фаз. Эта же дверь работает и наоборот: из синусов можно собрать любую форму.
Волны в одной точке просто складываются. В фазе — горб на горб, усиление; в противофазе — горб на впадину, гашение. Вся группа — следствия этого сложения.
Две близкие частоты дают медленную пульсацию громкости — биения. Слышно при настройке гитары: чем ближе струны, тем реже «уханье», и в унисон оно исчезает.
Встречные волны дают узлы и пучности, стоящие на месте: точки-узлы не движутся вовсе, между ними всё качается. Струна гитары, столб воздуха в трубе.
Всё решает разность хода Δ двух волн. Целое число длин волн — приходят в фазе, ярко. Полуцелое — в противофазе, гасятся, темно. Между этими крайностями — весь рисунок интерференции.
Угол, под которым волны от двух щелей приходят в фазе, даёт яркие полосы. Здесь sin θ — это проекция геометрии в разность хода: первая дверь кормит третью.
То же для атомных плоскостей кристалла. По углам, под которыми рентген отражается в фазе, читают расстояния между атомами. Этим синусом расшифровали структуру ДНК.
Любой сигнал — любую форму, любой звук — можно собрать из суммы чистых синусов. Прямоугольник складывается из нечётных гармоник; чем больше слагаемых, тем острее угол. На этом стоят MP3, JPEG, человеческий голос.
Высота голоса — основная частота, и у «а», и у «и», и у «у» она одна. Различает их только набор громких синусов: «горбы громкости» — форманты. Под спектром видно сами синусы-ингредиенты и их сумму — ваш голос. Ухо делает этот Фурье-разбор каждого звука; на нём стоит распознавание речи. Двигайте ползунок а→и→у: нота та же, тембр другой.
Источник движется — волны спереди сжимаются (частота выше), сзади растягиваются (ниже). Сирена скорой, тон гудка проезжающей машины.
Два перпендикулярных синуса со сдвигом фазы: при δ = 90° кончик поля чертит круг. На этом стоят 3D-очки и оптическая связь.
Пакет волн: огибающая (группа, несёт энергию) и несущая под ней бегут с разной скоростью. Иногда рябь внутри пакета обгоняет сам пакет.
Волна частицы — комплексная: её Re и Im это два синуса в квадратуре, а квадрат модуля даёт вероятность найти частицу. Прямое продолжение формулы Эйлера.
Здесь синус играет четвёртую роль — не «долю» и не «волну», а оператор: он берёт объект и поворачивает его. Та же крутящаяся стрелка, но теперь она крутит не себя, а мир вокруг.
Эта матрица из синусов и косинусов поворачивает любую точку на угол θ. Каждый кадр в играх и графике — это умножение на неё.
Умножить комплексное число на e^(iθ) — значит повернуть его вокруг нуля на угол θ. Комплексные числа буквально и есть повороты плоскости.
Повороты в трёхмерном пространстве без сбоев и заклиниваний. Синусы и косинусы вращают объект — на этом держатся дроны, роботы и вся 3D-анимация.
Геометрий постоянной кривизны ровно три, и различаются они знаком: сфера (+), плоскость Евклида (0), плоскость Лобачевского (−). Углы везде меряет обычный круговой синус, а вот стороны — по-разному: sin(a/R) на сфере, голая a на плоскости, sinh(a/k) у Лобачевского. При малых размерах обе кривые формулы вырождаются в плоскую: евклидова геометрия — это малоугловое приближение, как sin θ ≈ θ у маятника.
Один знак в уравнении: минус — возвращающая сила и колебание в коридоре ±1, плюс — разгоняющая сила и экспоненциальный уход. sin и sinh — решения одного уравнения с противоположным знаком.
Один параметр гонит две точки: по окружности (проекции cos и sin, обе в коридоре ±1) и по гиперболе (cosh и sinh, растут как eˣ/2). Это и есть синус мнимого угла: sin(ix) = i·sinh(x).
Положительная кривизна: стороны треугольника выгнуты, сумма углов больше 180°, и избыток пропорционален площади. На этой геометрии стоят навигация, авиамаршруты и трек спутника по карте.
Отрицательная кривизна: каждая точка — седло, и места экспоненциально много (длина окружности 2π·sinh r ~ eʳ). Углы обслуживает sin, расстояния — его гиперболический близнец sinh = (eˣ−e⁻ˣ)/2, связанный с круговым через мнимый угол: sin(ix) = i·sinh(x). Угол параллельности связывает их в одной строке: sin Π(x) = 1/cosh(x).
Честное гиперболическое замощение семиугольниками: в гиперболической метрике все они одинаковы — это край бесконечно далёк, а пространства к нему экспоненциально больше. Поэтому деревья и иерархии вкладываются сюда без давки — на этом стоят гиперболические эмбеддинги.
Близнец матрицы поворота из четвёртой двери: cos²+sin²=1 держит точку на окружности, cosh²−sinh²=1 — на гиперболе. Именно так устроено пространство-время: переход к движущемуся наблюдателю — гиперболический поворот, скорость = tanh(быстроты), и поскольку tanh никогда не достигает единицы, скорость света недостижима.
Разгон наклоняет оси t′ и x′ навстречу друг другу, как ножницы, сходящиеся к лучу света. Сам луч для любого наблюдателя на месте — скорость света и есть инвариант, который гиперболический поворот сохраняет.
Два места, где синус всплывает совсем неожиданно и красиво.
Плоскость качания маятника медленно поворачивается, и скорость этого поворота пропорциональна синусу широты. Так в 1851 году впервые наглядно доказали вращение Земли.
Если фотографировать Солнце в одно и то же время весь год, оно нарисует восьмёрку. Это комбинация синусов: наклон земной оси и положение по орбите.
Если присмотреться, дверей не несколько, а одна. В самой основе всего лежит формула Эйлера: точка, бегущая по единичной окружности, e^(iωt) = cos ωt + i·sin ωt. Все три группы — это просто три способа на неё посмотреть.
Время остановлено — остаются cos и sin как доли вдоль осей. Это первая дверь: проекция.
Время идёт, φ = ωt — тень ездит туда-сюда. Это вторая дверь: колебание.
Несколько крутящихся стрелок, сложенных вместе, дают волны и Фурье. Третья дверь.
Заморозить — проекция. Пустить во времени — колебание. Сложить несколько — суперпозиция. Один и тот же вращающийся вектор, чья тень на две оси и есть синус с косинусом. Везде, где что-то поворачивается, колеблется или складывается из волн, под капотом крутится именно он.